Rasmus Puur on lõpetanud Eesti muusika- ja teatriakadeemia kompositsiooni erialal (juhendajad Tõnu Kõrvits, René Eespere), õppides lisaks dirigeerimist (Tõnu Kaljuste) ning heliloomingut vahetusüliõpilasena Helsingis Sibeliuse akadeemias (Juhani Nuorvala).

Rasmus Puuri loomingut on esitanud pea kõik Eesti professionaalsed kollektiivid (sh ERSO, Tallinna Kammerorkester, Rahvusooper Estonia orkester, Vanemuise sümfooniaorkester, Pärnu Linnaorkester, Nargenfestivali orkester, Eesti Filharmoonia Kammerkoor, Eesti Rahvusmeeskoor) ning paljud harrastuskollektiivid. Tema sulest pärineb kaks ooperit, sümfoonia, viiulikontsert, oboekontsert, kolm kantaati, sümfoonia- ja keelpilliorkestriteoseid ning hulgaliselt väikevorme. Puur on ka hinnatud ja viljakas arranžeerija ning orkestreerija. Ta on olnud mitme muusikalavastuse muusikaline juht ja dirigent (ooper “Katuselt” (NO99/Põhuteater), muusikal “Shrek” (NUKU)) ning loonud teatrimuusikat Tallinna Linnateatri, Eesti Draamateatri, Ugala teatri, Rakvere teatri ja Kinoteatri/Nargen Opera etendustele.

Rasmus Puur oli 2017. aasta XII noorte laulu- ja tantsupeo “Mina jään” ideekavandi autor (koos Veiko Tubinaga) ja peadirigendi assistent ning juhatas 2019. aasta juubelilaulupeol segakoore. Peadirigendi assistent ja segakooride dirigent on ta ka saabuval 2025. aasta üldlaulupeol. 2015. aastast on Rasmus Puur Vanalinna Hariduskolleegiumi keelpilliorkestri dirigent. 2021. aasta oktoobrist on ta Eesti Vabariigi presidendi kultuurinõunik. Rasmus Puur on pälvinud mitmeid tunnustusi, sh Eesti Kultuurkapitali rahvakultuuri sihtkapitali aastapreemia (2017), Veljo Tormise stipendium (2020), Tõnu Kaljuste stipendium (2021), LHV heliloomingu Au-tasu (2021), Vabariigi Presidendi noore kultuuritegelase preemia (2021).